\documentclass[12pt,A4paper]{article}


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\title{Concours Général}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
\newcommand{\absss}[1]{\Bigl\vert #1 \Bigr\vert}
\newcommand{\abssss}[1]{\biggl\vert #1 \biggr\vert}
\newcommand{\absssss}[1]{\Biggl\vert #1 \Biggr\vert}
%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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\newcommand{\Card}{\text{Card }}
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\newcommand{\miniop}[3]{%
\renewcommand{\arraystretch}{0.6}
\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
\renewcommand{\Im}{{\mbox{Im }}}
\renewcommand{\Re}{{\mbox{Re }}}

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\newcommand{\arc}[1]{\stackrel{\frown}{#1}}

\newcounter{exo}

\newcommand{ \debutsujet}[1] {
\begin{center}
\textbf{Concours Général #1}
\end{center}
\begin{list}{ \addtocounter{exo}{1}
\centerline{EXERCICE \Roman{exo}}}{} \setcounter{exo}{0} }
\def \finsujet {\end{list}\newpage}


%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\debutsujet{2000}

\item
On dispose de $b$ boules blanches et $n$ boules noires -- au moins
une de chaque --, que l'on répartit entre deux urnes de façon
qu'aucune d'elles ne soit vide; on note $s$ le nombre de boules
dans la première, et $r$ celui de celles qui sont blanches.
L'événement considéré est le tirage d'une boule au hasard dans
l'une des urnes choisie au hasard. Le but de l'exercice est de
déterminer les répartitions rendant maximale la probabilité $p$ de
tirer une boule blanche.
\begin{enumerate}
  \item Exprimer $p$ en fonction de $b$, $n$, $r$ et $s$.
  \item Dans cette question, l'on fixe la valeur de $s$; comment
  choisir $r$ pour augmenter $p$ ?
  \item Résoudre l'exercice.
  \item Quelles généralisations proposez-vous en augmentant les
  nombres de couleurs et d'urnes ?
\end{enumerate}

%$p=\frac12(\frac{r}{s}+\frac{b-r}{n+b-s})$

\item
Ce probl\`eme traite des triangles $ABC$ dits cart\'esiens,
c'est-\`a-dire \`a c\^ot\'es entiers $BC=a$, $CA=b$ et $AB=c$ dont
l'angle en $A$ mesure $\displaystyle{2\pi\over3}$ radians. Sauf
avis contraire, $ABC$ est supposé cart\'esien.

\begin{enumerate}
\item
 Notant $H$ son orthocentre orthogonalement projeté en
$(U,V,W)$ sur les trois c\^ot\'es, d\'eterminer les nombres
rationnels parmi $AU$, $BV$, $CW$, $HA$, $HB$, $HC$, $HU$, $HV$,
$HW$, $AW$, $AV$, $BU$, $BW$, $CV$ et $CU$.
\item
Notant $I$ son centre du cercle inscrit, $J$ l'intersection de la
bissectrice int\'erieure en $A$ et des bissectrices ext\'erieures
en les autres sommets, et $P$ $Q$ les intersections de la droite
$BC$ et des deux bissectrices de $A$, d\'eterminer les nombres
rationnels parmi $PB$, $PC$, $QB$, $QC$, $AI$, $AJ$, $AP$ et $AQ$.
\item
On suppose d\'esormais $b$ et $c$ premiers entre eux. Montrer que,
quitte \`a \'echanger $b$ et $c$, $a+b-c$ est multiple de $3$ et
$a-b+c$ ne l'est pas.
\item
On pose $\displaystyle{a+b-c\over3c}={p\over q}$ o\`u $p$ et $q$
sont des entiers strictement positifs premiers entre eux. Notant
$d$ le ${\rm PGCD}$ de $p(3p+2q)$ et de $q(2p+q)$, calculer $a$,
$b$ et $c$ en fonction de $p$, $q$ et $d$.
\item
Montrer que $q$ n'est pas multiple de $3$, puis que $d=1$
\item
En d\'eduire une condition n\'ecessaire et suffisante pour qu'un
triangle soit cart\'esien de c\^ot\'es premiers entre eux puis,
par des remarques g\'eom\'etriques, une caract\'erisation analogue
des triangles \`a c\^ot\'es entiers $BC=a$, $CA=b$ et $AB=c$
premiers entre eux dont l'angle en $A$ mesure
$\displaystyle{\pi\over3}$ radians.
\end{enumerate}

\item
Soient $A$, $B$, $C$ trois points deux \`a deux distincts de
l'espace, $(A)$ une sph\`ere de centre $A$ et de rayon $r$, et $E$
l'ensemble des nombres $R>0$ tels qu'il existe une sph\`ere $(H)$
de centre $H$ et de rayon $R$ par rapport \`a laquelle les points
$B$ et $C$ sont strictement ext\'erieurs (c'est-\`a-dire par
exemple tels que $HB>R$), et les points de $(A)$ strictement
int\'erieurs.

\begin{enumerate}
\item
Dans cette question, $B$ et $C$ sont align\'es avec $A$ et
strictement ext\'erieurs \`a $(A)$. Montrer que $E$ est non vide
et majoré. Calculer le plus petit de ses majorants en fonction des
donn\'ees.
\item
D\'eterminer une condition n\'ecessaire et suffisante pour que $E$
soit non vide et majoré.
\item Calculer, lorsqu'il existe, le plus petit des majorants de $E$.
\end{enumerate}

\finsujet

\end{document}